随着春节假期日益临近，SIF也公告了将开启为期3天的10倍经验活动。本文将以Excel为主要工具，通过已知的经验公式，计算在不同等级、不同打歌次数情况下，最终能到的等级以及花费的爱心数。
1. 计算背景与设定
1.1 计算背景
在SIF中，每次打歌均需要消耗体力（LP），体力会随着时间自然恢复（10LP/h），也可以直接通过花费爱心进行补充，每颗爱心将获得当前LP上限数量的体力。例如，当前体力为80点，体力上限为120点，则花费爱心后，体力将补充120点，即200点。
每次打歌则可以获得一定量的奖励，包括经验（EXP）。当经验获取达到该等级上线后，用户等级（Level）将会增加一级，同时自动恢复一整条的体力（效果等同花费1颗爱心）。
在打歌时，可以自由选择消耗倍率：1倍~4倍。在4倍消耗模式下，体力消耗为4倍，获取的奖励也会增加为4倍。
正常情况下，升级需要的经验数需要打几十首歌曲（1倍消耗）甚至更多来完成。而为了使玩家快速升级，游戏内也会不定期开展10倍经验活动，即在同样的体力消耗下，经验获取数量将提升为原来的10倍，这样就可以在仅游玩少数歌曲的情况下实现快速升级。我们的目标任务就是：
计算在不同等级、不同打歌次数时，最终能达到的等级数和花费爱心数，并以表格的形式展示出来。1.2 基本设定
为完成这些任务，我们需要了解如下的内容与设定：
- SIF中新账号即为2级，此时体力上限为26，之后每2级提升1点体力上限。300级后，更改为每3级提升1点体力上限；
- 在不同等级(Lv)下，升级所需经验(Exp)为：
Exp(Lv) = 34.45*Lv - 551, when Lv <= 1000，为线性增长Exp(Lv) = 1550.006*(Lv-1000)^2 - 1515*(Lv-1000) + 34400, when Lv > 1000，为二次增长
- 一首歌在1倍消耗下，需要花费25点体力，并获得83点经验；
- 为最大化效率，打歌均按4倍消耗计算，同时不考虑体力恢复。
2. 问题分析与求解
2.1 公式转换
首先我们需要给出体力上限(LP)和等级(Lv)的关系。根据1.2中的基本设定，我们不难推出：
LP(Lv) = 24 + Round((Lv+1)/2), when Lv <= 300LP(Lv) = 75 + ROUND((Lv-1)/3), when Lv > 300
这样，我们可以很容易在Excel中给出升级所需经验(Exp)和体力上限(LP)与等级(Lv)之间的关系。
接下来我们需要计算得到在10倍经验下升1级需要花费爱心的数量。由于10倍经验+4倍消耗时，100体力可以得到83*4*10=3320经验，显然该式子应为：
Loveca(Lv) = Exp(Lv)/33.2/LP(Lv) - 1
最后减1的原因是升级后会自动补充1颗爱心的体力。
2.2 基本数据集
经过上面的分析，我们可以在Excel中建立一个Sheet，名为基本数据集用于存放计算所需要的基本数据集，如图所示：
以第2行为例，公式在如下表格中给出：
| 列 | 含义 | 公式 |
|---|---|---|
A(n) |
等级(Lv) | - (手动输入) |
B(n) |
升级所需经验(Exp) | =ROUND(0.522*A(n)*(A(n)+1),0) |
C(n) |
体力上限(LP) | =24+ROUND((A(n)+1)/2,0) |
D(n) |
升级累积经验(AccExp) | =D(n-1)+B(n-1) |
E(n) |
升级花费爱心(Loveca) | =B(n)/33.2/C(n)-1 |
F(n) |
升级累积花费爱心数 | =F(n-1)+E(n-1) |
该部分公式很容易理解，不做赘述。
2.3 表格制作
2.3.1 获取指定等级的基本数据
下面我们使用一个新的Sheet，来整理特定等级、特定次数下的速查表，名为十倍非传统升级指南。这里我们需要用到Excel中的两个重要函数：
MATCH(lookup_value, lookup_array, [match_type])：作用是在指定的数据集(lookup_array)中，寻找指定元(lookup_value)。匹配模式可以选择0（精确匹配）、1（不大于该值的最小值，要求升序）、-1（不小于该值的最大值，要求降序）。其返回值为在该数据集中的位置。OFFSET(reference, rows, cols, [height], [width])：作用是从指定的位置(reference)进行偏移，偏移量为rows行和cols列。
在指定等级下（例如100），我们可以通过下列公式得到该等级对应的基本信息：
B4=OFFSET(基本数据集!$B$1,100-1,0)
注意，这里我们默认了100级的数据在基本数据集Sheet中的第100行，因此我们只需要从基本数据集指定列的第一行开始，偏移100-1=99行0列，即可找到100级对应的基本数据。
2.3.2 计算游玩特定次数后的等级
由于在基本数据中，我们计算了到指定等级后的累积经验，因此在游玩k次后，获得的总经验为：
AccExp(Lv, k) = AccExp(Lv) + 3320k
此时，我们只需要去看AccExp(Lv, k)在我们的累积经验表中，哪一级的累积经验是小于等于该值的最大值，即找到了游玩特定次数后的等级，即
Lv'(Lv, k) = argmax(Lv', AccExp(Lv') <= AccExp(Lv, k))
升级所需的累计花费爱心数即为
AccLoveca1(Lv, k) = AccLoveca(Lv') - AccLoveca(Lv)
除此以外，由于最后一级未能升级，但是仍旧进行了游玩，因此可能造成额外的Loveca花费，这部分的数量为：
AccLoveca2(Lv, k) = (AccExp(Lv, k) - AccExp(Lv')) / 33.2 / LP(Lv')
最终花费的爱心总和为：
AccLoveca(Lv, k) = AccLoveca1(Lv, k) + AccLoveca2(Lv, k)
2.3.3 计算示例
由于公式较为繁琐，我们举一个例子来说明。假设我们目前是100级，计划打50次歌曲。那么：
- 100级对应的基本数据为：
Exp(100) = 2894，LP(100) = 75，Loveca(100) = 0.16，AccExp(100) = 121667，AccLoveca(100) = -34.98。 - 打歌50次后，对应的总经验值为：
AccExp(100, 50) = 121667 + 3320 * 50 = 287667。 - 查表，发现145级对应的总经验值为286003，因此打歌50次后应该升级到145级，对应的基本数据为：
Exp(145) = 4444，LP(145) = 97，Loveca(145) = 0.38，AccExp(145) = 286003，AccLoveca(145) = -22.47。 - 升级过程中，总消耗爱心数为：
AccLoveca(145) - AccLoveca(100) = 12.51。 - 最后一级打歌过程中，实际多打了
AccExp(100, 50) - AccExp(145) = 1664经验，该部分经验如果用爱心来打，需要花费的爱心数为：1664 / 33.2 / LP(145) = 0.52 - 最终我们计算得到总共花费的爱心数为：
12.51 + 0.52 = 13.03
即共计花费爱心13颗，最终等级为145级。
2.3.4 Excel编写
通过上述分析，我们可以将该过程转化为Excel公式：
| 列 | 含义 | 公式 |
|---|---|---|
A(n) |
等级 | - (手动输入) |
B(n) |
累积经验 | =OFFSET(基本数据集!D1,十倍非传统升级指南!A(n)-1,0) |
C(n) |
50次后等级 | =MATCH(B(n)+3320*50,基本数据集!D:D,1) |
D(n) |
对应等级累积经验 | =OFFSET(基本数据集!D1,十倍非传统升级指南!C(n)-1,0) |
E(n) |
升级吃心 | =OFFSET(基本数据集!F1,十倍非传统升级指南!C(n)-1,0)-OFFSET(基本数据集!F1,十倍非传统升级指南!A(n)-1,0) |
F(n) |
最后一级吃心 | =(B(n)+3320*50-D(n))/33.2/OFFSET(基本数据集!C1,十倍非传统升级指南!C(n)-1,0) |
最终我们的成果如下：
另外最后附上excel：十倍经验速查表